Le nombre d'Euler (e) expliqué : La constante cachée dans votre compte bancaire

Qu'est-ce que le nombre d'Euler ?

Le nombre d'Euler, noté e, est l'une des constantes les plus importantes en mathématiques. Sa valeur est approximativement 2.71828182845904523536... et, comme pi, il continue à l'infini sans se répéter.

Mais qu'est-ce qui rend ce nombre apparemment aléatoire si spécial ? Contrairement à pi, qui est lié aux cercles, e émerge naturellement de questions sur la croissance et le changement. Il apparaît dans tout, de votre compte d'épargne à la désintégration radioactive, de la croissance démographique à la propagation des maladies.

L'histoire de l'origine des intérêts composés

La découverte de e a commencé avec une question pratique sur l'argent. À la fin du XVIIe siècle, le mathématicien suisse Jacob Bernoulli étudiait les intérêts composés lorsqu'il est tombé sur quelque chose de remarquable.

Imaginez que vous déposez 1 $ dans une banque qui offre un intérêt annuel de 100 %. Si la banque compose une fois par an, vous auriez 2 $ à la fin de l'année. Mais que se passe-t-il si elle compose plus fréquemment ?

Bernoulli a découvert que, quelle que soit la fréquence à laquelle vous composez, le résultat ne dépasse jamais une certaine limite : e.

La formule magique : capitalisation continue

Cela nous amène à l'une des limites les plus élégantes des mathématiques :

e = lim(n→∞) (1 + 1/n)^n

Cette formule capture l'essence de la croissance continue. Lorsque les intérêts sont composés continuellement, la formule de votre investissement devient :

A = P × e^(rt)

Où :

• A = montant final
• P = principal💡 Definition:The original amount of money borrowed in a loan or invested in an account, excluding interest. (investissement initial)
• r = taux d'intérêt (en décimal)
• t = temps en années

C'est pourquoi e apparaît dans toutes les calculatrices financières qui traitent de la capitalisation continue. Ce n'est pas un choix arbitraire, c'est la constante naturelle qui émerge des mathématiques de la croissance elle-même.

Série de Taylor : pourquoi e converge si magnifiquement

L'une des propriétés les plus remarquables de e est son développement en série de Taylor :

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + x⁴/4! + ...

Lorsque x = 1, cela nous donne :

e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + ...

Cette série converge incroyablement vite. Seuls les 10 premiers termes vous donnent une précision de 7 décimales. Cette convergence rapide n'est pas une coïncidence : c'est parce que la factorielle dans chaque dénominateur croît si rapidement que les termes ultérieurs deviennent infiniment petits.

La série de Taylor révèle également pourquoi e est spécial parmi les bases exponentielles : la dérivée de e^x est égale à e^x. Aucune autre fonction exponentielle ne possède cette propriété. Cela fait de e le choix naturel pour la modélisation des systèmes où le taux de changement est proportionnel à la valeur actuelle.

L'identité d'Euler : la plus belle équation

En 1748, Leonhard Euler (d'après qui la constante est nommée) a découvert ce que de nombreux mathématiciens considèrent comme la plus belle équation de toutes les mathématiques :

e^(iπ) + 1 = 0

Cette seule équation relie cinq constantes mathématiques fondamentales :

• e (le nombre d'Euler)
• i (l'unité imaginaire, √-1)
• π (pi, le rapport de la circonférence au diamètre)
• 1 (l'identité multiplicative)
• 0 (l'identité additive)

Elle utilise également trois opérations de base : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. Le fait que ces nombres apparemment sans rapport se combinent si élégamment suggère des liens profonds dans l'univers mathématique.

Applications concrètes

Au-delà des intérêts composés, e apparaît dans toute la science et l'ingénierie :

Désintégration radioactive

La quantité d'une substance radioactive restante après un temps t suit :

N(t) = N₀ × e^(-λt)

où λ est la constante de désintégration.

Croissance démographique

La croissance démographique illimitée suit :

P(t) = P₀ × e^(rt)

C'est pourquoi les épidémiologistes utilisent des modèles exponentiels lors des épidémies.

Intérêts sur les prêts

Le calcul continu des intérêts de votre carte de crédit utilise e. Si vous avez un solde, les intérêts accumulés sont :

Intérêts = Principal × (e^(rt) - 1)

Probabilités et statistiques

La distribution normale (courbe en cloche) qui apparaît partout dans les statistiques contient e :

f(x) = (1/√(2π)) × e^(-x²/2)

Traitement du signal

Les ingénieurs électriciens utilisent e dans l'analyse des circuits à courant alternatif et le traitement du signal grâce à la formule d'Euler :

e^(ix) = cos(x) + i×sin(x)

Essayez vous-même

Comprendre e n'est pas seulement théorique, cela a des implications pratiques pour vos finances. Essayez notre Calculateur d'Euler pour :

• Calculer e avec n'importe quelle précision
• Voir comment la capitalisation continue affecte vos investissements
• Explorer la convergence de la série de Taylor
• Visualiser la croissance et la décroissance exponentielles

Pour les calculs d'intérêts composés, consultez notre Calculateur d'intérêts composés pour voir comment différentes fréquences de capitalisation affectent votre épargne au fil du temps.

Points clés à retenir

1. e ≈ 2,71828 est la constante de croissance de la nature
2. Elle émerge de la limite des intérêts composés : lim(1 + 1/n)^n
3. La série de Taylor pour e converge rapidement, ce qui rend les calculs pratiques
4. L'identité d'Euler (e^(iπ) + 1 = 0) relie des constantes mathématiques fondamentales
5. Les applications vont de la finance à la physique en passant par l'ingénierie

La prochaine fois que vous vérifierez votre compte d'épargne ou que vous entendrez parler de croissance exponentielle, rappelez-vous : vous voyez le nombre d'Euler à l'œuvre, la constante cachée qui régit la façon dont les choses croissent dans notre univers.